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  Viva a Matemática 
1° Ano Ensino Médio

Primeiro ano 2° Grau

1- Conjuntos numéricos

2- Definição de função

3- Funções Lineares/ Afim

4- Função Quadrática

5- Função Modular

6- Função Exponencial

7- Função Logarítmica


 

1- Conjuntos numéricos.

I) Números Naturais

 N = { 0 , 1 , 2 , 3 , ... }

II) Números Inteiros

 Z = { ... , -2 , -1 , 0 , 1 , 2, ... }

Todo número natural é inteiro, isto é, N é um
subconjunto de Z

III) Números Racionais

 - São aqueles que podem ser expressos na forma a/b, onde a e b são inteiros quaisquer, com b diferente de 0.

Q ={x/x = a/b com a e b pertencentes a Z
com b diferente de 0 }

Assim como exemplo podemos citar o –1/2 , 1 , 2,5 ,...

 -Números decimais exatos são racionais

 Pois  0,1 = 1/10

        2,3 = 23/10 ...

 - Números decimais periódicos são racionais.

         0,1111... = 1/9

         0,3232 ...= 32/99

         2,3333 ...= 21/9

         0,2111 ...= 19/90

 -Toda dízima periódica 0,9999 ... 9 ... é uma outra representação do número 1.

IV) Números Irracionais

 - São aqueles que não podem ser expressos na forma a/b, com a e b inteiros e b diferente de 0.

 -São compostos por dízimas infinitas não periódicas.

 V) Números Reais

 - É a reunião do conjunto dos números irracionais com o dos racionais.

  

 

 

 

 

 


 

 

2- Função é um dos conceitos mais importantes da matemática. Existem várias definições, dependendo da forma como são escolhidos os axiomas.

A maioria dos livros representa uma função através da notação:

f : D mapsto Y

em que:

  • D é um conjunto (chamado de domínio da função)
  • Y também é um conjunto (que pode ou não ser igual a D, chamado de contra-domínio da função)
  • f é uma lei que associa elementos do conjunto D ao conjunto Y, satisfazendo certos axiomas (abaixo delineados)

Se x é um elemento do domínio D, a função f: D mapsto Y, sempre associa a ele um único elemento f(x) do contra-domínio Y:

f: x in D mapsto y = f(x).

O gráfico da função é o conjunto de pares ordenados (x, f(x)), sendo um subconjunto de D x Y.

Alguns livros chamam de função o que foi chamado aqui de seu gráfico; em alguns casos, este gráfico nem precisa ser um conjunto, sendo uma classe.

Por outro lado, em alguns contextos são consideradas funções parciais (em que nem todos pontos do domínio D tem um valor f(x)) ou funções multivariadas (em que alguns pontos do domínio D podem ter mais de um valor f(x)).

 História

Como um termo matemático, "função" foi introduzido por Gottfried Leibniz em 1694, para designar qualquer das várias variáveis geométricas associadas com uma dada curva; tais como a inclinação da curva ou um ponto específico da dita curva. Funções relacionadas às curvas são atualmente chamadas funções diferenciáveis e são ainda o tipo de funções mais encontrado por não-matemáticos. Para este tipo de funções, pode-se falar em limites e derivadas; ambos sendo medida da mudança nos valores de saída associados à variação dos valores de entrada, formando a base do cálculo infinitesimal.

A palavra função foi, posteriormente, usada por Euler em meados do século XVIII para descrever uma expressão envolvendo vários argumentos (por exemplo, y = F(x)). Ampliando a definição de funções, os matemáticos foram capazes de estudar "estranhos" objetos matemáticos tais como funções que não são diferenciáveis em qualquer de seus pontos. Tais funções, inicialmente tidas como puramente imaginárias e chamadas genericamente de "monstros", foram já no final do século XX, identificadas como importantes para a construção de modelos físicos de fenômenos tais como o movimento Browniano.

Durante o Século XIX, os matemáticos começaram a formalizar todos os diferentes ramos da matemática. Weierstrass defendia que se construisse o cálculo infinitesimal sobre a Aritmética ao invés de sobre a Geometria, o que favorecia a definição de Euler em relação à de Leibniz (veja aritmetização da análise). Mais para o final do século, os matemáticos começaram a tentar formalizar toda a Matemática usando Teoria dos conjuntos, e eles conseguiram obter definições de todos os objetos matemáticos em termos do conceito de conjunto. Foi Dirichlet quem criou a definição "formal" de função moderna.

Na definição de Dirichlet, uma função é um caso especial de uma relação. Relação é um conjunto de pares ordenados, onde cada elemento do par pertence a um dos conjuntos relacionados. Nas relações não existem restrições quanto à lei de correspondência entre os elementos dos conjuntos, já para as funções é costume introduzir restrições. Na maioria dos casos de interesse prático, entretanto, as diferenças entre as definições moderna e de Euler são desprezáveis.

 Conceito

O conceito de uma função é uma generalização da noção comum de "fórmula matemática". Funções descrevem relações matemáticas especiais entre dois objetos, x e y=f(x). O objeto x é chamado o argumento ou domínio da função f e o objeto y que depende de x é chamado imagem de x pela f.

Intuitivamente, uma função é uma maneira de associar a cada valor do argumento x um único valor da função f(x). Isto pode ser feito especificando através de uma fórmula, um relacionamento gráfico entre diagramas representando os dois conjuntos, e/ou uma regra de associação ou mesmo uma tabela de correspondência pode ser construída; entre conjuntos numéricos é comum representarmos funções por seus gráficos, cada par de elementos relacionados pela função determina um ponto nesta representação, a restrição de unicidade da imagem implica um único ponto da função em cada linha de chamada do valor independente x.

Este conceito é determinístico, sempre produz o mesmo resultado a partir de uma dada entrada (a generalização aos valores aleatórios é chamada de função estocástica). Uma função pode ser vista como uma "máquina" ou "caixa preta" que converte entradas válidas em saídas de forma unívoca, por isso alguns autores chamam as funções de relações unívocas.

O tipo de função mais comum é aquele onde o argumento e o valor da função são ambos numéricos, o relacionamento entre os dois é expresso por uma fórmula e o valor da função é obtido através da substituição direta dos argumentos. Considere o exemplo

f(x)=x^2 ,!

Que resulta em qualquer valor de x ao quadrado.

Uma generalização direta é permitir que funções dependam não só de um único valor, mas de vários. Por exemplo,

g(x,y)=xy ,!

recebe dois números x e y e resulta no produto deles, xy.

De acordo com o modo como uma função é especificada, ela pode ser chamada de função explícita (exemplo acima) ou de função implícita, como em

xf(x)=1 ,!

que implicitamente especifica a função

f(x)= rac{1}{x}

A noção intuitiva de funções não se limita a computações usando apenas números. A noção matemática de funções é bem mais ampla. Assim, uma função liga um domínio (conjunto de valores de entrada) com um segundo conjunto o contra-domínio (ou codomínio) de tal forma que a cada elemento do domínio está associado exactamente um elemento do contra-domínio. O conjunto dos elementos do contra-domínio que são relacionados pela f a algum x do domínio, é chamado de "conjunto-imagem" ou "imagem".

As funções são definidas abstractamente por certas relações. Por causa de sua generalização as funções aparecem em muitos contextos matemáticos e muitas áreas desta ciência baseiam-se no estudo de funções. Pode notar-se que as palavras "função", "mapeamento", "mapear" e "transformar" são geralmente usadas como termos equivalentes. Além disso funções podem ocasionalmente ser referidas como funções bem definidas ou função total.

 Definição formal

Considere dois conjuntos X e Y. Uma função f de X em Y:

f:X ightarrow Y

relaciona com cada elemento x em X, um único elemento y=f(x) em Y.

Outra maneira de dizer isto é afirmar que f é uma relação binária entre os dois conjuntos tal que:

  1. f é unívoca: se y = f(x) e z = f(x), então y = z.
  2. f é total: para todos x em X, existe um y em Y tal que y = f(x).

Se a segunda condição é atendida, mas a primeira não, temos uma função multivalorada, o termo função multívoca é, por vezes utilizado na mesma acepção.

Se a primeira condição é atendida, mas a segunda não, temos uma função parcial.

Considere as três funções seguintes:

Naofuncao1.png Esta não é uma função, pois o elemento 3 em X é associado com dois elementos (d e c) em Y (a correspondência é funcional). Apesar de não ser uma função, representa uma função multivalorada.
Naofuncao2.png Esta não é uma função, pois o elemento 1 em X não é associado com, pelo menos, um elemento em Y. Apesar de não ser uma função, representa uma função parcial.
Funcao venn.png Esta é uma função (no caso, uma função discreta). Ela pode ser definida explicitamente pela expressão:
f(x)=left{begin{matrix} a, & mbox{se }x=1  c, & mbox{se }x=2  d, & mbox{se }x=3. end{matrix} ight.

 Domínio, contradomínio e imagem

Função x2, definida para { -3,-2,-1,0 }. Observar o conjunto domínio (D), contradomínio (CD) e imagem (delineado pela linha tracejada).

São três conjuntos especiais associados à função. O domínio é o conjunto que contém todos os elementos x para os quais a função deve ser definida. Já o contradomínio é: o conjunto que contém os elementos que podem ser relacionados a elementos do domínio.

Também define-se o conjunto imagem como o conjunto de valores que efetivamente f(x) assume. O conjunto imagem é, pois, sempre um subconjunto do contradomínio.

Note-se que a função se caracteriza pelo domínio, o contradomínio, e a lei de associação. A função f: R 	o R,  f(x) = x^2, é diferente da função g: R 	o R^{+},  g(x) = x^2,.

Funções sobrejetoras, injetoras e bijetoras

Os tipos de funções podem ser classificados de acordo com o seu comportamento com relação à regra uma única saída para cada entrada. Como não foi dito nada sobre as entradas, ou se as saídas tem que ser únicas temos que resolver estas ambiguidades. Ao fazer isto encontramos apenas três tipos de classes de funções ( classe como em 'classificação' não classe de equivalência):

  • Funções injectoras (ou injectivas)
São funções em que cada elemento da imagem (da saída) está associado a apenas um elemento do domínio (da entrada), isto é uma relação um para um entre os elementos do domínio e da imagem. Isto é, quando x  eq y no domínio então f(x)  eq f(y) no contradomínio. A cardinalidade do contra-domínio é sempre maior ou igual à do domínio em uma função inje(c)tora. Ressalta-se portanto que podem haver mais elementos no contra-domínio que no conjunto imagem da função. Exemplo:
Funcao venn.png
  • Funções sobrejetoras (ou sobrejetiva)
Uma função em que todos os elementos do contra-domínio (da saída) estão associados a algum elemento do domínio (da entrada). Em outras palavras, isso significa que o conjunto imagem é igual ao conjunto contra-domínio
Surjection.svg
  • Funções bijetoras (ou bijetiva)

Se for sobrejetora e injetora, isto é, se todos os elementos do domínio estão associados a todos os elementos do contra-domínio de forma um para um e exclusiva.

Bijection.svg

 Funções compostas

A função composta é uma lei que relaciona directamente os elementos do conjunto A com os do conjunto C, neste caso representada por f(g(x)).

São as funções em que o conjunto imagem de uma função f(x) serve de domínio para uma outra função g(x), que por sua vez gera um conjunto imagem A. A função composta é uma expressão que, dado um determinado número do domínio de f(x), nos leva directamente ao conjunto imagem A. Exemplo: Dadas as funções f(x) = 2x + 3 e g(x) = x - 1, uma função composta pode ser g(f(x)) = 2x + 2. Existem várias maneiras de se criar funções compostas. Podemos fazer f(g(x)), f(f(x)) etc. Note que o conjunto imagem de uma função serve sempre de domínio para a outra.

Função inversa

Somente as funções bijetoras apresentam inversa, pois qualquer número do domínio tem um único correspondente no contra-domínio (injetora) e este tem todos os seus valores relacionados uma única vez (sobrejetora). Assim, podemos estabelecer uma relação inversa, transformando o contra-domínio em domínio, e o domínio em contra-domínio de uma função. A expressão que representa essa troca é chamada de função inversa, e é representada por f -1(x). Ex:

  1. f(x) = x + 1 ,!
  2. y = x + 1 ,!
  3. x = y + 1 ,!
  4. y = x - 1 ,!
  5. Portanto, f^{-1}(x) = x - 1 ,!

Gráficos de função

Gráfico

O gráfico de uma função f:D	o I, é o conjunto dos pares ordenados em D	imes I, da forma left(x,f(x) ight),, ou seja:

left{left(x,f(x) ight) : x in D  ight},

ou equivalentemente:

left{left(x,y ight)in D	imes I : x in D mbox{ e } y=f(x)  ight},

os termos deste par ordenado são chamados de abcissa e ordenada.

Uma função é determinada pelo seu gráfico e pela especificação do conjunto de chegada. Assim, se duas funções têm o mesmo gráfico, uma poderá ser sobrejectiva e a outra não. No entanto, a injectividade de uma função é completamente determinada pelo gráfico.

Embora o conceito de gráfico esteja relacionado ao conceito de desenho, pode-se falar do gráfico de funções em espaços de dimensão infinita. Um importante teorema da análise funcional é o teorema do gráfico fechado.

 Gráfico em duas dimensões

Pontos marcados no plano cartesiano.

Uma das aplicações mais corriqueiras da idéia de gráfico de uma função é o traçado de uma curva sobre o plano cartesiano de forma a explicitar as "principais" propriedades de uma função.

O gráfico de muitas funções reais específicas recebem nomes especiais. O gráfico de um função afim, ou polinômio do primeiro grau, é chamado de reta; de um polinômio do segundo grau, de parábola; de um polinômio do terceiro grau, de parábola cúbica; da função y=cosh(x), é uma catenária.

 

 

3- Uma função definida por f: R→R chama-se afim quando existem constantes a, b que pertencem ao conjunto dos reais tais que f(x)= ax + b para todo x ∈ R. A lei que define função afim é:

 

O gráfico de uma função afim é uma reta não perpendicular ao eixo Ox.

 

Domínio: D = R
Imagem: Im = R

 

São casos particulares de função afim as funções lineares e constante.

Função linear

Uma função definida por f: R→R chama-se linear quando existe uma constante a ∈ R tal que f(x) = ax para todo x ∈ R. A lei que define uma função linear é a seguinte:

O gráfico da função linear é uma reta, não perpendicular ao eixo Ox e que cruza a origem do plano cartesiano.

 

Domínio: D = R
Imagem: Im = R

 

Função constante

Uma função definida por f: R→R chama-se constante quando existe uma constante b R tal que f(x) = b para todo x ∈ R. A lei que define uma função constante é:

O gráfico de uma função constante, é uma reta paralela ou coincidente ao eixo Ox q que cruza o eixo Oy no ponto de ordenada b.

Coeficientes numéricos

Cada coeficiente numérico de uma função caracteriza um elemento do gráfico dessa função.

• Coeficiente a: coeficiente angular de uma reta. A é igual à tangente do ângulo que a reta faz com o eixo x.

Quando a > 0, a função é crescente.
Quando a < 0, a função é decrescente.

• Coeficiente b: é a ordenada do ponto em que o gráfico de f cruza o eixo das ordenadas, ou seja, b = f(0).

 

 

 


4-Função Quadrática.
f(x) = x^2 - x - 2,!

Em matemática, uma função quadrática é uma função polinomial da forma f(x)=ax^2+bx+c ,!, onde a  e 0 ,!. O gráfico de uma função quadrática é uma parábola cujo maior eixo é paralelo ao eixo y.

A expressão ax2 + bx + c na definição de uma função quadrática é um polinômio de grau 2 ou um polinômio de segundo grau, porque o maior expoente de x é 2.

Se a função quadrática é igualada a zero, o resultado é uma equação quadrática. As soluções para a equação são chamadas raízes da equação ou os zeros da função, e são os interceptos do gráfico da função com o eixo x.

 Origem da palavra

O adjetivo quadrática vem da palavra latina quadratum, que significa quadrado. Um termo como x2 é chamado de quadrado em álgebra, porque representa a área de um quadrado de lado x.

Em geral, um prefixo quadr(i)- indica o número 4. Como em quadrilátero e quadrante. Quadratum é a palavra latina para quadrado por que um quadrado tem quatro lados.

 Raízes

As duas raízes da equação quadrática 0=ax^2+bx+c,!, onde a  e 0 ,! são

 x = rac{-b pm sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}.

Essa fórmula é chamada de Fórmula de Bhaskara.

  • Dado Delta = b^2-4ac ,
  • Se Delta > 0,!, então existem duas raízes distintas uma vez que sqrt{Delta} é um número real positivo.
  • Se Delta = 0,!, então as duas raízes são iguais, uma vez que sqrt{Delta} é igual a zero.
  • Se Delta < 0,!, então as duas raízes são números complexos conjugados, uma vez que sqrt{Delta} é imaginário.

Efetuando  r_1 = rac{-b + sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a} e  r_2 = rac{-b - sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a} ou vice versa, é possível fatorar  a x^2 + b x + c ,! como  a(x - r_1)(x - r_2),!.

 Formas da função quadrática

Uma função quadrática pode ser expressa em três formatos:

  • f(x) = a x^2 + b x + c ,! é chamada a forma geral ou forma polinomial (também chamada de forma desenvolvida),
  • f(x) = a(x - r_1)(x - r_2),! é chamada a forma fatorada, onde r1 e r2 são as raízes da equação quadrática, e
  • f(x) = a(x - h)^2 + k ,! é chamada a forma padrão ou forma vértice (também chamada de forma canônica).

Para converter a forma geral para a forma fatorada, é necessário usar a fórmula quadrática e encontrar as raízes r1 and r2. Para converter a forma geral para a forma padrão é necessário usar o processo de completar o quadrado. Para converter a forma fatorada (ou padrão) para a forma geral, é necessário multiplicar, expandir e/ou distribuir os fatores.

 Gráfico

f(x) = ax^2 + x ,!a={0.1,0.3,1,3}!
f(x) = x^2 + bx,! b={1,2,3,4}!
f(x) = x^2 + bx,! b={-1,-2,-3,-4}!

Independentemente do formato, o gráfico de uma função quadrática é uma parábola (como mostrado abaixo).

  • Se a > 0 ,!, a parábola abre para cima.
  • Se a < 0 ,!, a parábola abre para baixo.

O coeficiente a controla a velocidade de aumento (ou decréscimo) da função quadrática a partir do vértice. Números positivos grandes para a fazem a imagem de x aumentar mais rápido, fazendo com que a parábola fique mais fechada, mais "magra".

O coeficiente b e a, juntos, controlam o eixo de simetria da parábola (e também a coordenada do x do vértice).

O coeficiente b sozinho é a declividade da parábola ao cortar o eixo y.

O coeficiente c controla a altura da parábola, mais especificamente, é o ponto onde a parábola corta o eixo y.

Vértice

O vértice de uma parábola é o número crítico da função quadrática - o ponto onde ela vira, também chamado de turning point. Se a função estiver na forma padrão, o vértice é dado por (h, k),!. Pelo método de completar o quadrado transforma-se a forma geral: f(x) = a x^2 + b x + c ,!

em

 f(x) = aleft(x + rac{b}{2a} ight)^2 - rac{b^2-4ac}{4 a} ,

de forma que o vértice da parábola na forma geral seja

 left(-rac{b}{2a}, -rac{Delta}{4 a} ight).

Se a função quadrática estiver na forma fatorada f(x) = a(x - r_1)(x - r_2) ,!

a média aritmética da duas raízes, i.e.,

rac{r_1 + r_2}{2} ,!

fornece a coordenada x do vértice, e assim o vértice é dado por

 left(rac{r_1 + r_2}{2}, f(rac{r_1 + r_2}{2}) ight).!

O vértice é também o ponto máximo se a < 0 ,! ou o ponto mínimo se a > 0 ,!.

A linha vertical

 x=h=-rac{b}{2a}

que passa pelo vértice é chamada de eixo de simetria da parábola.

  • Pontos de máximo/mínimo
O máximo ou mínimo de uma função é sempre obtido no vértice. O seguinte método se baseia na mesma idéia fazendo uso do cálculo. A vantagem desse método é que ele funciona para funções mais gerais.
Tomando f(x) = ax^2 + bx + c ,! como um exemplo de equação quadrática para achar seus pontos extremos (que dependem de a ,!, se a > 0 ,!, tem um ponto mínimo, se a < 0,!, tem um ponto máximo) é necessário antes encontrar sua derivada:
f(x)=ax^2+bx+c Leftrightarrow ,!f'(x)=2ax+b ,!
Depois, encontramos as raízes de f'(x),!:
2ax+b=0 Rightarrow ,! 2ax=-b Rightarrow,! x=-rac{b}{2a}
Então, -rac{b} {2a} é o x,! valor de f(x),!. Agora, para encontrar o valor de y,!, substituimos x = -rac{b} {2a} em f(x),!:
y=a left (-rac{b}{2a}  ight)^2+b left (-rac{b}{2a}  ight)+cRightarrow y= rac{ab^2}{4a^2} - rac{b^2}{2a} + c Rightarrow y= rac{b^2}{4a}  - rac{b^2}{2a} + c Rightarrow
y= rac{b^2 - 2b^2 + 4ac}{4a} Rightarrow y= rac{-b^2+4ac}{4a} Rightarrow y= -rac{(b^2-4ac)}{4a} Rightarrow y= -rac{Delta}{4a}
Assim, as coordenadas do ponto mínimo/máximo são:
 left (-rac {b}{2a}, -rac {Delta}{4a}  ight).

 Estudo dos Sinais

Exemplo de uma função positiva para qualquer valor de x

O estudo dos sinais da função quadrática define os sinais da função para qualquer valor de x. O estudo depende do sinal do coeficiente a e do Δ. Ele é obtido analisando o esboço do gráfico da concavidade da função.

- 1º Caso: Δ < 0

Neste caso, a parábola da função não corta o eixo das absissas. Portanto:

a > 0  ightarrow f(x) > 0, orall x in R

a < 0  ightarrow f(x) < 0, orall x in R

 - 2º Caso: Δ = 0

Exemplo de uma função negativa para x  e r_1 = r_2 e nula para x = r1 = r2

Neste caso, a parábola da função corta o eixo das absissas em apenas um ponto. Tem-se duas situações, dependendo o valor do coeficiente a e das raízes r1 e r2 (note que r1 < r2):

  • a > 0

f(x) > 0  ightarrow x  e r_1 = r_2

f(x) = 0  ightarrow x = r_1 = r_2

  • a < 0

f(x) < 0  ightarrow x  e r_1 = r_2

f(x) = 0  ightarrow x = r_1 = r_2

- 3º Caso: Δ > 0

Exemplo de uma função positiva para x < r1 ou x > r2; nula para x = r1 = r2 e negativa para r1 < x < r2.

Neste caso, a parábola da função corta o eixo das absissas em dois pontos. Novamente, tem-se duas situações, dependendo o valor do coeficiente a (note novamente que r1 < r2):

  • a > 0

f(x) > 0  ightarrow x < r_1 lor x > r_2

f(x) = 0  ightarrow x = r_1 lor x = r_2

f(x) < 0  ightarrow r_1 < x < r_2

  • a < 0

f(x) > 0  ightarrow r_1 < x < r_2

f(x) = 0  ightarrow x = r_1 lor x = r_2

f(x) < 0  ightarrow x < r_1 lor x > r_2

 Raiz quadrada de uma função quadrática

A raiz quadrada de uma função quadrática faz surgir ou uma elipse ou uma hipérbole. Se a>0,! então a equação  y = pm sqrt{a x^2 + b x + c} descreve uma hipérbole. O eixo da hipérbole é determinado pela ordenada do ponto mínimo da parábola correspondente  y_p = a x^2 + b x + c ,!
Se a ordenada for negativa, então o eixo da hipérbole é horizontal. Se ordenada for positiva, então o eixo da hipérbole é vertical.
Se a<0,! então a equação  y = pm sqrt{a x^2 + b x + c} descreve ou uma elipse ou absolutamente nada. Se a ordenada do ponto
máximo da parábola correspondente  y_p = a x^2 + b x + c ,! for positiva, então sua raiz quadrada descreve uma elipse, mas a ordenada for negativa ela descreve um conjunto vazio de pontos.

 Função quadrática bivariada

Uma função quadrática bivariada é um polinômio de segundo grau da forma

 f(x,y) = A x^2 + B y^2 + C x + D y + E x y + F ,!

Tal função descreve uma superfície quadrática. Fazendo f(x,y),! igual a zero, é descrita a intersecção da superfície com o plano z=0,!, que é um locus de pontos equivalente a uma secção cônica.

 Mínimo/máximo

Se  4AB-E^2 <0 , a função não possui máximo ou mínimo e seu gráfico forma um parabolóide hiperbólico.

Se  4AB-E^2 >0 , a função possui um mínimo se A>0, e um máximo se A<0 e seu gráfico forma um parabolóide elíptico.

O mínimo ou máximo de uma função quadrática bivariada é obtido através de  (x_m, y_m) , onde:

x_m = -rac{2BC-DE}{4AB-E^2}
y_m = -rac{2AD-CE}{4AB-E^2}

Se  4AB- E^2 =0 , e  DE-2CB=2AD-CE  e 0 , a função não possui máximo ou mínimo e seu gráfico forma um cilindro parabólico.

Se  4AB- E^2 =0 , e  DE-2CB=2AD-CE =0 , a função alcança o mínimo/máximo em uma linha. Similarmente, um mínimo se A>0 e um máximo se A<0, e seu gráfico forma um cilindro parabólico.

 

 

 

 

 


 

5- Estabelecemos uma função através da relação entre duas grandezas (duas incógnitas), sendo que uma incógnita será dependente e essa terá que estar relacionada com apenas um valor que será a incógnita independente.

Seguindo essa definição, será considerada função modular toda função onde essa incógnita dependente estiver dentro de módulos. Veja exemplos de funções modulares:

f(x) = |x| ou y = |x|, onde y incógnita independente e x incógnita dependente.

f(x) = |x -1|

f(x) = |x – 3| + 2

f(x) = x2
|x|

Considerando a definição de módulo de um número real, podemos definir função modular como sendo:

Função modular é toda função dos reais para os reais, escrita pela lei f(x) = |x|, sendo caracterizada da seguinte forma:

f(x) = x, se x ≥ 0
-x, se x < 0

Exemplo 1:

Construa o gráfico de função modular f(x) = |2x2 – 4x|. Aplicando a definição de módulo, teremos:

f(x) = 2x2 – 4x se 2x2 – 4x ≥ 0
-(2x2 – 4x) se -2x2 + 4x < 0

2x2 – 4x ≥ 0
2x2 – 4x = 0
x’ = 0
x” = 2

 

 

 

-2x2 + 4x < 0
-2x2 + 4x =0
x’ = 0
x” = 2

 

 

 

A união dos dois gráficos, considerando a definição de módulo, formará o gráfico da função f(x) = |2x2 – 4x|.

 

 

[modular3.JPG] 

 

 


 

6- A função exponencial é uma das mais importantes funções da matemática. Descrita como ex (onde e é a constante matemática neperiana, base do logarítmo neperiano), pode ser definida de duas maneiras equivalentes: a primeira, como uma série infinita; a segunda, como limite de uma seqüência:

A função exponencial é achatada para x negativos, e cresce rapidamente para x positivos.
A curva ex jamais toca o eixo x, embora apresente tendência a se aproximar deste.

e^x = sum_{n = 0}^{infty} {x^n over n!} = 1 + x + {x^2 over 2!} + {x^3 over 3!} + {x^4 over 4!} + cdots
e^x = lim_{n 	o infty} left( 1 + {x over n}  ight)^n

Aqui, n! corresponde ao fatorial de n e x é qualquer número real ou complexo.

Se x é real, então ex é sempre positivo e crescente. Conseqüentemente, sua função inversa, o logarítmo neperiano, ln(x), é definida para qualquer valor positivo de x. Usando o logarítmo neperiano, pode-se definir funções exponenciais mais genéricas, como abaixo:

ax = exlna

Para todo a > 0 e x in mathbb{R}.

A função exponencial também gera funções trigonométricas (como pode ser visto na equação de Euler para análises complexas), e as funções hiperbólicas. Então, tem-se que qualquer função elementar, exceto as polinomiais são criadas a partir da função exponencial.

As funções exponenciais "transitam entre a adição e a multiplicação" como é expressado nas seguintes leis exponenciais:

a0 = 1
a1 = a
ax + y = axay
a^{x y} = left( a^x  ight)^y
{1 over a^x} = left({1 over a} ight)^x = a^{-x}
axbx = (ab)x

Estas são válidas para todos os números positivos reais a e b e todos os números reais x. Expressões envolvendo frações e raízes podem freqüentemente serem simplificadas usando-se a notação exponencial porque:

{1 over a} = a^{-1}
sqrt[c]{a}^b = a^{b over c}

 

Função exponencial e equações diferenciais

A maior importância das funções exponenciais nos campos das ciências é o fato de que essas funções são múltiplas de suas próprias derivadas:

{d over dx} a^x = (ln a) a^x

Se a taxa de crescimento ou de decaimento de uma variável é proporcional ao seu tamanho, como é o caso de um crescimento populacional ilimitado, juros continuamente computados ou decaimento radiativo, então a variável pode ser escrita como uma função exponencial do tempo.

A função exponencial então resolve a equação diferencial básica

{dy over dx} = y

e é por essa razão comumente encontrada em equações diferenciais. Em particular a solução de equações diferenciais ordinárias pode freqüentemente ser escrita em termos de funções exponenciais. Essas equações incluem a equação de Schrödinger e a equação de Laplace assim como as equações para o movimento harmônico simples.

 Função exponencial no plano complexo

Quando considerada como uma função definida no plano complexo, a função exponencial retém as importantes propriedades:

ez + w = ezew
e0 = 1
e^z  e 0
{d over dz} e^z = e^z

para todos z e w. A função exponencial no plano complexo é uma função holomórfica que é periódica com o período imaginário i que pode ser escrita como

ea + bi = ea(cosb + isinb)

onde a e b são valores reais. Essa fórmula conecta a função exponencial com as funções trigonométricas, e essa é a razão que estendendo o logaritmo neperiano a argumentos complexos resultam na função multivalente ln(z). Nós podemos definir como uma exponenciação mais geral:: zw = ewlnz para todos os números complexos z e w.

Isto é também uma função multivalente. As leis exponenciais mencionadas acima permanecem verdade se interpretadas propriamente como afirmações sobre funções multivalentes.

É fácil ver, que a função exponencial descreve qualquer curva no plano complexo a uma espiral logarítmica no plano complexo com centro em 0, nada como o caso de uma reta paralela com os eixos reais ou imaginários descrevem uma curva ou um círculo.

 Função exponencial para matrizes e álgebras de Banach

A definição de função exponencial exp dada acima pode ser usada palavra por palavra para cada álgebra de Banach, e em particular para matrizes quadradas. Neste caso temos

ex + y = exey

se xy = yx (deveríamos adicionar a fórmula geral envolvendo comutadores aqui)

e0 = 1
ex é invertível com inverso e-x
a derivada da exp no ponto x é aquela descrição linear que transforma u em u·ex.

No contexto das álgebras de Banach não comutativas, como as álgebras de matrizes ou operadores no espaço de Banach ou de Hilbert, a função exponencial é freqüentemente considerada como uma função de um argumento real:

f(t) = etA

onde A é um elemento fixo da álgebra e t é qualquer número real. Essa função tem importantes propriedades:

f(s + t) = f(s)f(t)
f(0) = 1
f'(t) = Af(t)

 Mapa exponencial nas álgebras de Lie

O "mapa exponencial" que passa uma álgebra de Lie a um grupo de Lie compartilha as propriedades acima, o que explica a terminologia. De fato, desde que R é uma álgebra de Lie de um grupo de Lie de todos os números positivos reais com multiplicação, a função exponencial para argumentos reais é um caso especial da situação da álgebra de Lie. Similarmente, desde que a álgebra de Lie M (n, R) de todas as matrizes reais quadradas pertence ao grupo de Lie de todas as matrizes quadradas invertíveis, a função para matrizes quadradas é um caso especial do mapa exponencial da álgebra de Lie.

 

 


 

 

7- Toda função definida pela lei de formação f(x) = logax, com a ≠ 1 e a > 0, é denominada função logarítmica de base a. Nesse tipo de função o domínio é representado pelo conjunto dos números reais maiores que zero e o contradomínio, o conjunto dos reais.

Exemplos de funções logarítmicas:

f(x) = log2x
f(x) = log3x
f(x) = log1/2x
f(x) = log10x
f(x) = log1/3x
f(x) = log4x
f(x) = log2(x – 1)
f(x) = log0,5x


Determinando o domínio da função logarítmica

Dada a função f(x) = (x – 2)(4 – x), temos as seguintes restrições:

1) 4 – x > 0 → – x > – 4 → x < 4
2) x – 2 > 0 → x > 2
3) x – 2 ≠ 1 → x ≠ 1+2 → x ≠ 3

Realizando a intersecção das restrições 1, 2 e 3, temos o seguinte
resultado: 2 < x < 3 e 3 < x < 4.

Dessa forma, D = {x Є R / 2 < x < 3 e 3 < x < 4}


Gráfico de uma função logarítmica

Para a construção do gráfico da função logarítmica devemos estar atentos a duas situações:

 a > 1

 0 < a < 1



Para a > 1, temos o gráfico da seguinte forma:
Função crescente

Para 0 < a < 1, temos o gráfico da seguinte forma:
Função decrescente



Características do gráfico da função logarítmica, y = logax

O gráfico está totalmente à direita do eixo y, pois ela é definida para x > 0.

Intersecta o eixo das abscissas no ponto (1,0), então a raiz da função é x = 1.

Note que y assume todos as soluções reais, por isso dizemos que a Im(
imagem) = R.


Através dos estudos das funções logarítmicas, chegamos à conclusão de que ela é uma função inversa da exponencial. Observe o gráfico comparativo a seguir:

Podemos notar que (x,y) está no gráfico da função logarítmica se o seu inverso (y,x) está na função exponencial de mesma base.

 


Agora, estudaremos a parte de Geometria do currículo do Primeiro ano do 2° Grau.

 


 

 

 

 

 


 
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